Question

已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC，BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M点，连接ME．
（1）求证：四边形AEPM为菱形；
（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？

Answer

（1）有一组邻边相等的平行四边形为菱形，在本题中，可证出四边形AEPM为平行四边形，关键是找一组邻边相等，∵AD平分∠BAC再者PE∥AM所以可证∠EAP=∠EPA即AE=EP，所以为菱形；
（2）S菱形AEPM=EP•h，S平行四边形EFBM=EF•h，若菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半，则EP=EF，所以，P为EF中点时，S菱形AEPM=S四边形EFBM．
（1）证明：∵EF∥AB，PM∥AC，
∴四边形AEPM为平行四边形．
∵AB=AC，AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∵AD⊥BC（三线合一的性质），
∵∠BAD=∠EPA，
∴∠CAD=∠EPA，
∵EA=EP，
∴四边形AEPM为菱形．

（2）【解析】
P为EF中点时，S菱形AEPM=S四边形EFBM
∵四边形AEPM为菱形，
∴AD⊥EM，
∵AD⊥BC，
∴EM∥BC，
又EF∥AB，
∴四边形EFBM为平行四边形．
作EN⊥AB于N，则S菱形AEPM=EP•EN=EF•EN=S四边形EFBM．