Question

如图，边长为a的正方形ABCD沿直线l向右滚动．

（1）当正方形滚动一周时，正方形中心O经过的路程为______

Answer

（1）要计算正方形滚动一周时，正方形中心O和顶点A所走的路程，就必须弄清它们的运动过程：
中心O：当正方形滚动一周时，中心O所经过的路程为4段弧，且都是以90°为圆心角、对角线的一半为半径，因此中心O实际经过的路程是一个圆，且半径为对角线的一半，由此得解；
点A：当正方形滚动一周时，点A也经过了4段弧，可分作两部分：
一、以90°为圆心角、对角线长为半径的两段弧，二、以90°为圆心角、边长长为半径的两段弧；
可根据弧长计算公式进行求解即可．
（2）根据（1）题的解题思路可知：当点A经过的路程为时，正方形滚动了10周，依此计算出中心O与初始位置的距离即可．
（3）很明显∠AA1B1是个钝角，要想套用题干给出的正切的两角和公式，就必须从∠AA1B1的两个补角入手，可设∠AA1D=α、∠B1A1E=β，易求得两角的正切值，代入公式中，即可求出tan（α+β）的值，进而可得到∠AA1D+∠B1A1E的度数，根据补角的定义，即可求得∠AA1B1的度数．
【解析】
（1）根据勾股定理可得：AC=a，即OC=a，
正方形中心O经过的路程=π，
点A经过的路程==．（6分）

（2）当点A经过的路程为时，即正方形滚动了10周，
正方形滚动一周的距离是4a，10周即是40a．（10分）

（3）135°；
验证：设∠AA1D=α，∠B1A1E=β，则tanα=，tanβ=；
===1，
即α+β=45°，故∠AA1B1=180°-（α+β）=135°．（14分）