Question

如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为-1，直线l：y=-x-与坐标轴分别交于A、C两点，点B的坐标为（4，1），⊙B与x轴相切于点M．
（1）求点A的坐标及∠CAO的度数；
（2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿想x轴负方向平移，同时，直线ι绕点A以每秒钟旋转30°的速度顺时针匀速旋转，当⊙B第一次与⊙O相切时，请判断直线ι与⊙B的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）已知直线l的解析式，分别令x=0和y=0，即可求出A、C点的坐标，进而确定∠CAO的度数．
（2）当⊙B第一次与⊙O相切时，即两圆外切，d==，所以⊙B的圆心的坐标应为（1，1），所以第一次相切，是经过了3s，又因为直线ι绕点A以每秒钟旋转30°的速度顺时针匀速旋转，所以3s钟转了90°，此时，点B到直线的距离等于半径1，所以直线与⊙B相切．
【解析】
（1）∵直线l的解析式是y=-x-，
∴直线与y轴的交点坐标是（0，），
令y=0，则-x-=0，解得，x=，
∴直线与x轴的交点是（，0）
∴OA=OC，所以∠CAO=45°．

（2）如图示，连接MB并延长，交旋转后的直线l于点N，过B作BP⊥AN于P，
当⊙B第一次与⊙O相切时，即两圆外切，
∴d==，
∴⊙B的圆心的坐标应为（1，1），
∵点B的坐标为（4，1）
∴第一次相切，是经过了3s，
又∵直线l绕点A以每秒钟旋转30°的速度顺时针匀速旋转，
∴3s钟转了90°，
由题意知，NM=AM=AO+OM=，
∴，
∴BP=1，
即d=r=1，
此时，点B到直线的距离等于半径1，所以直线与⊙B相切．