Question

如图，正方形ABCD的边长为4，E是边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．
（1）求证：△ADE∽△BEF；
（2）连接DF，△ADE与△DEF是否一定相似？若一定相似，请加以证明；若不一定相似，请你求出当△ADE与△DEF相似时，AE的长度．

Answer

（1）都是直角三角形，只需再找一对锐角相等即可．因为EF⊥DE，所以∠AED+∠BEF=90°．又∠BEF+∠BFE=90°，所以∠AED=∠BFE．问题得证．
（2）因不具备全等的条件，所以不一定相似．若相似，除直角对应相等外，其它的对应关系不明确，所以需分两种情况讨论：
①△ADE∽△EDF，②△ADE∽△EFD．根据相似三角形性质，分别得比例线段求解．
（1）证明：∵EF⊥DE，∴∠AED+∠BEF=90°．
又∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠AED=∠BFE．
∵∠A=∠B=90°，
∴△ADE∽△BEF，（3分）

（2）【解析】
不一定相似．（4分）
①若△ADE∽△EDF，则AE=2（6分）
②若△ADE∽△EFD，则AE无解．（7分）