Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，∠ABC=2∠BAC，弦BE交AC于点D，连接AE，若，点C坐标是（a，0），点F坐标是（0，b）．
（1）请你写出圆心O的坐标（______，______）；
（用含a，b的代数式表示）
（2）求线段BD的长．

Answer

（1）过O分别作AF、AC的垂线，由垂径定理即可得到O点的坐标；
（2）等腰△ABC中，∠ABC=2∠BAC，根据三角形内角和定理即可求得∠ABC=72°、∠BAC=36°；
由圆周角定理知∠E=∠BCD，联立，可证得△ABE∽△DBC，那么可证得∠ABE=∠DBC=36°，进而可得到△BCD、△ADB都是含36°、72°角的等腰三角形，可设BD=x，那么AD=BD=BC=x，CD=a-x；然后通过△BCD∽△ABC得到的比例线段来求得BD的长．
【解析】
（1）（）（2分）

（2）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABC=2∠BAC，
∴∠ACB=2∠BAC，
∴∠ACB=∠ABC=72°，∠BAC=36°，
∵，∠AEB=∠ACB，
∴△ABE∽△DBC，
∴∠ABE=∠DBC=36°，（3分）
∴∠ABE=∠DBC=∠BAC=36°，∠BDC=72°，
∴AD=BD=BC，（4分）
∵点C坐标是（a，0），设BD的长为x
∴DC=a-x
∵∠DBC=∠BAC=36°，∠DCB=∠BCA
∴△ABC∽△BDC，得：
即（5分）
∴x2+ax=a2
解之得：
∴BD的长为．（6分）