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已知:抛物线y=x2+2x-3与x轴的两个交点分别为A、B,点A在点B的左侧,与...

已知:抛物线y=x2+2x-3与x轴的两个交点分别为A、B,点A在点B的左侧,与y轴交于点C,顶点为D,直线y=kx+b经过点A、C;
(1)求点D的坐标和直线AC的解析式;
(2)点P为抛物线上的一个动点,求使得△ACP的面积与△ACD的面积相等的点P的坐标.
(1)根据抛物线的解析式,可求出点A、C、D的坐标,进而可用待定系数法求出直线AC的解析式; (2)由于△ACP和△ACD同底,若它们的面积相等,则点P到AC的距离等于点D到AC的距离;过点D作直线AC的平行线,那么此平行线与抛物线的交点必为所求的P点;设直线DP关于直线AC对称的直线为l,那么直线l和直线AC的距离也等于D到AC的距离,因此直线l与抛物线的交点也符合点P的要求,所以点P的坐标共有3个,可先求出直线DP和直线l的解析式,然后联立抛物线的解析式即可求出P点的坐标. 【解析】 (1)由抛物线解析式y=x2+2x-3=(x+1)2-4, 得D(-1,-4);(1分) 点A、C的坐标分别是A(-3,0),C(0,-3), ∵直线y=kx+b经过A、C两点, ∴, ∴; ∴直线AC的解析式为y=-x-3;(2分) (2)①过点D作与直线y=-x-3平行的直线,交抛物线于点P; 则S△ACP=S△ACD; 设平移后的直线的解析式为y=-x+t, ∵点D的坐标为(-1,-4); ∴t=-5; ∴P(m,-m-5), ∴-m-5=m2+2m-3, 解得m=-1(舍去)或m=-2; ∴P(-2,-3);(4分) ②直线DP:y=-x-5与y轴的交点坐标为(0,-5), 则直线DP关于直线y=-x-3对称的直线l的解析式为y=-x-1,l交抛物线于P′,设P′(m′,-m′-1); 由于点P’在抛物线y=x2+2x-3上, ∴-m′-1=m′2+2m′-3; 解得;(5分) ∴P′()或P′();(7分) ∴所求点P的坐标分别是(-2,-3),(),().
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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