Question

已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=50°．将△ABC绕点A逆时针旋转角θ （0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．
（1）如图1，当θ=20°时，∠BOE=______度；
（2）当△ABC旋转到如图2所在位置时，求∠BOE的度数，并说明理由；
（3）如图3，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使，，连接B′C′，将△AB′C′绕点A逆时针旋转角θ （0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图3探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．

Answer

（1））根据全等三角形性质得出AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE=50°，求出∠ABC=∠ADE=∠ACB=∠AED=65°，∠ABD=∠ADB=80°，∠AEC=∠ACE=80°，根据三角形内角和定理求出∠EDO=35°，求出∠DEC=15°，根据三角形内角和定理求出∠DOE即可；
（2）当旋转到如图2所在位置时，证△ABD≌△ACE，推出∠AEC=∠ADB，设AD与CE相交于点F，则∠OFD=∠EFA，求出∠EOD=∠EAD=50°即可求出∠BOE=130°；
（3）证相似得出∠ABD=∠ACE，推出∠BOE=180°-（∠ABC+∠ACB），图4，求出∠BOC=50°，即可求出答案．
【解析】
（1）∵△ABC≌△ADE，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE=50°，
∴∠ABC=∠ADE=∠ACB=∠AED=（180°-50°）=65°，
∵AB=AD，∠DAB=θ=20°，
∴∠ABD=∠ADB=（180°-20°）=80°，
同理∠AEC=∠ACE=80°，
∴∠EDO=180°-65°-80°=35°，∠DEC=80°-65°=15°，
∴∠DOE=180°-35°-15°=130°，

（2）当旋转到如图2所在位置时，

∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中

∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠AEC=∠ADB，
设AD与CE相交于点F，则∠OFD=∠EFA，
∴∠EOD=∠EAD=50°，
∴∠BOE=130°；

（3）50°或130°，如图

理由是：如图3，
∵，，
∴==，
∵∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠ACB+∠ABC=180°-∠BAC=180°-50°=130°，
∴∠BOE=180°-（∠OBC+∠BCA+∠ACE=180°-（∠ABD+∠OBC+∠BCA）=180°-130°=50°；
如图4，∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-130°=50°，
∴∠BOE=180°-50°=130°．
故∠BOE的度数为50°或130°．
故答案为：130°．