Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C、D，圆心M在x轴的负半轴上，过点C的圆的切线与线段DB的延长线相交于点P．已知：点C的坐标是（0，），tan∠BAC=．
（1）求证：△PCB∽△PDC；
（2）求线段PC的长．

Answer

（1）利用切线的性质得出∠MCB+∠PCB=90°，进而利用MC=MB，得出∠MCB=∠OBC，以及∠PCB=∠PDC即可得出；
（2）首先证明△AOC∽△COB，进而得出，进而得出OB，BD的长，由△PCB∽△PDC得出，即可得出PC的长．
【解析】
（1）连结MC，
∵圆心M在x轴的负半轴上，∴AB⊥CD于点O，
∴，∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠OCB=∠PDC，
∵PC与⊙M相切于点C，∴PC⊥MC，
∴∠MCB+∠PCB=90°，
又∵MC=MB，∴∠MCB=∠OBC，∴∠PCB=∠PDC，
又∵∠P=∠P，∴△PCB∽△PDC；

（2）∵点C的坐标是，
∴，
∵，
∴，
∵AB是⊙M的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠OCB+∠ACO=90°，而∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠OAC=∠OCB，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴，
∴，
∴，
设PC=x，
由△PCB∽△PDC得：
，
即=，
解得：PC=x=5．