Question

如图，已知梯形ABCD中AD∥BC，AB=DC，对角线AC平分∠BCD，AC⊥AB，且梯形的周长是20，求AC的长．

Answer

根据角平分线的定义可得∠1=∠2，根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠3，然后得到∠2=∠3，根据等角对等边可得AD=CD，再根据等腰梯形同一底上的两底角相等求出∠B=2∠1，然后利用直角三角形两锐角互余求出∠1=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BC=2AB，再根据梯形的周长是20求出AB的长，从而得到BC的长，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【解析】
∵AC平分∠BCD，
∴∠1=∠2，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AD=CD，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠B=∠BCD=2∠1，
又∵AC⊥AB，
∴∠1+∠B=90°，
即∠1+2∠1=90°，
解得∠1=30°，
∴BC=2AB，
∵梯形的周长是20，
∴AB+BC+CD+AD=AB+2AB+AB+AB=5AB=20，
解得AB=4，
∴BC=2×4=8，
在Rt△ABC中，AC===4．