Question

如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，BC=3，CD=1．
（1）求证：tan∠AEC=；
（2）请探究BM与DM的数量关系，并给出证明．

Answer

（1）由△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，易证得∠ACE=90°，△ABC∽△CDE，即可得，又由在Rt△ACE中，tan∠AEC=，即可证得tan∠AEC=；
（2）首先过点M作MN⊥BD，垂足为N，易得AB∥MN∥ED，又由点M是AE的中点，易得N是BD的中点，然后利用线段垂直平分线的性质，即可证得BM=DM．
（1）证明：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，
∴AB=BC，CD=DE，
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，
∴∠ACE=90°；
∵△ABC∽△CDE，
∴，
∵在Rt△ACE中，tan∠AEC=，
∴tan∠AEC=；

（2）BM=DM．
证明：过点M作MN⊥BD，垂足为N，
∵∠ABC=∠EDC=90°，
∴AB⊥BD，ED⊥BD，
∴AB∥MN∥ED，
∴AM：EM=BN：DN，
∵点M是AE的中点，
即AM=EM，
∴BN=DN，
∴BM=DM．