Question

已知二次函数y=x²-2（k+1）x+4k的图象与x轴分别交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），且＜x₁＜．
（1）求k的取值范围；
（2）设二次函数y=x²-2（k+1）x+4k的图象与y轴交于点M，若OM=OB，求二次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，若点N是x轴上的一点，以N、A、M为顶点作平行四边形，该平行四边形的第四个顶点F在二次函数y=x²-2（k+1）x+4k的图象上，请直接写出满足上述条件的平行四边形的面积．

Answer

（1）令y=0，即可得到关于x的一元二次方程x2-2（k+1）x+4k=0，通过解方程可以求得x=2k或x=2，则由题意得到关于k的不等式，通过解该不等式即可求得k的取值范围；
（2）由已知条件易求M点坐标为（0，-2），所以，把点M的坐标代入抛物线解析式可以求得k的值；
（3）此题需要分类讨论：分以AM为边和以AM为对角线两种情况进行解答．
【解析】
（1）令y=0，则x2-2（k+1）x+4k=0，即（x-2k）（x-2）=0，
解方程得：x=2k或x=2，则A（2k，0），B（2，0）．
由题意得，，
故可得：．

（2）∵OM=OB，B的坐标为：（2，0），
∴M点坐标为：（0，-2），
把点M的坐标分别代入y=x2-2（k+1）x+4k中，可得：4k=-2，
解得：k=-，
故二次函数表达式为：y=x2-x-2．

（3）由（2）知k=-，则A（-1，0）．
①如图1，当AM为边时，AN=MF，且AN∥MF．
由（2）知，二次函数表达式为：y=x2-x-2．
∵M点坐标为：（0，-2），
∴当y=-2时，-2=x2-x-2，解得x=1或x=0，
∴点F的坐标为（1，-2）或（0，-2）（与点M重合，舍去），
∴AN=MF=1，
此时S▱AMFN=AN•NM=1×2=2；
②如图2，当AM为对角线时，同理证得AN=MF=1，
此时S▱AMFN=AN•NM=1×2=2；
③如图3，当AM为边时，AE=EN，ME=FE．
设F（a，b），N（t，0），
则，
解得，或，
此时，S▱AMFN=AN•OM=（t+1）×2=2×+2=5+，或S▱AMFN=AN•OM=（t+1）×2=2×+2=5-；
综上所述，符合条件的平行四边形的面积是：2，或．