Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=，△DCE是等边三角形，DE交AB于点F，求△BEF的周长．

Answer

方法一：过点E作EG⊥CB，交CB的延长线于点G，利用题干条件求出EF、FB和EB长度，进而求△BEF的周长；
方法二：过点E作EH⊥CD交CD于点H，交AB于点G，利用矩形性质、勾股定理以及三角函数等知识结合题干条件求出EF、FB和EB长度，进而求△BEF的周长；
方法三：过点B作BG⊥CE，交CE于点G，利用矩形的知识、解直角三角形和三角函数等知识结合题干条件求出EF、FB和EB长度，进而求△BEF的周长．
【解析】
解法一：
∵矩形ABCD，△DCE是等边三角形，
∴∠ADF=∠ECB=30°，ED=EC=3，
在Rt△ADF中，∠A=90°，AD=，
∴tan∠ADF=，
tan30°==，
∴AF=1，
∴FB=AB-AF=3-1=2，FD=2，；
∴EF=ED-DF=3-2=1，；
过点E作EG⊥CB，交CB的延长线于点G；
在Rt△ECG中，∠EGC=90°，EC=3，∠ECG=30°，
∴EG=EC=，cos∠ECG=，
cos30°==，
∴GC=，
∴GB=CG-BC=-=，
由勾股定理得，EB2=EG2+GB2，
∴EB=（舍去负值）；
∴△BEF的周长=EF+FB+EB=3+．

解法二：∵矩形ABCD，△DCE是等边三角形，
∴∠EDC=∠ECD=60°，ED=EC=3，
过点E作EH⊥CD交CD于点H，交AB于点G；
∴点H是DC的中点，点G是AB的中点，∠FEG=30°，GH=AD=，
在Rt△EHD中，∠EHD=90°，ED=3，
∴sin∠EDH=，
sin60°==，
∴EH=，
∴EG=EH-GH=-=．
在Rt△EGF中，∠EGF=90°，∠EFG=60°，
∴sin∠EFG=，
sin60°==，
∴EF=1；
∴FG=EF=，
∵点G是AB的中点，AB=3，
∴GB=AB=，
∴FB=FG+GB=2，
由勾股定理得，EB2=EG2+GB2，
∴EB=（舍去负值），
∴△BEF的周长=EF+FB+EB=3+．

解法三：∵矩形ABCD，△DCE是等边三角形，
∴∠ADF=∠ECB=30°，ED=EC=3，
在Rt△ADF中，∠A=90°，AD=，
∴tan∠ADF=，
tan30°==，
∴AF=1，
∴FB=AB-AF=3-1=2，FD=2，
∴EF=ED-DF=3-2=1，
过点B作BG⊥CE，交CE于点G．
在Rt△BCG中，∠BGC=90°，BC=，∠ECB=30°，
∴BG=BC=，cos∠BCG=，
cos30°==，
∴GC=，
∴GE=EC-GC=3-=，
由勾股定理得，EB2=EG2+GB2，或BG是线段EC的垂直平分线，
∴EB=（舍去负值）或BE=BC，
∴△BEF的周长=EF+FB+EB=3+．