Question

如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，且A（0，-2），AB=4，连接AC，抛物线y=x²+bx+c经过A，B两点．点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当P运动到OC上时，设点P的移动时间为t秒，当PQ⊥AC时，求t的值；
（3）当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围．

Answer

（1）由于四边形OABC是矩形，那么A、B纵坐标相同，代入抛物线解析式求出即可；
（2）Q点的位置可分：在OA上、在OC上、在CB上 三段来分析，若PQ⊥AC时，很显然前两种情况符合要求，首先确定这三段上t的取值范围，然后通过相似三角形（或构建相似三角形），利用比例线段来求出t的值，然后由t的取值范围将不合题意的值舍去；
（3）当PQ∥AC时，△BPQ∽△BAC，通过比例线段求出t的值以及P、Q点的坐标，可判定P点在抛物线的对称轴上，若P、H1重合，此时有∠H1OQ=∠POQ，显然若做点H1关于OQ的对称点H2，那么亦可得到∠H2OQ=∠POQ，而题干要求的是∠HOQ＞∠POQ，那么H1点以下、H2点以上的H点都是符合要求的．
【解析】
（1）∵矩形OABC的两边在坐标轴上，且A（0，-2），AB=4，
∴B点坐标为：（4，-2），
∴将A，B两点代入y=x2+bx+c得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为：y=x2-4x-2；

（2）由题意知：A点移动路程为AP=t，
Q点移动路程为7（t-1）=7t-7．
当Q点在OA上时，即0≤7t-7＜2，1≤t＜时，
如图1，若PQ⊥AC，则有Rt△QAP∽Rt△ABC．
∴=，即=，
∴t=．
∵＞，
∴此时t值不合题意．
当Q点在OC上时，即2≤7t-7＜6，≤t＜时，
如图2，过Q点作QD⊥AB．
∴AD=OQ=7（t-1）-2=7t-9．
∴DP=t-（7t-9）=9-6t．
若PQ⊥AC，易证Rt△QDP∽Rt△ABC，
∴=，即=，
∴t=，
∵＜＜，
∴t=符合题意．
当Q点在BC上时，即6≤7t-7≤8，≤t≤时，
如图3，若PQ⊥AC，过Q点作QG∥AC，
则QG⊥PG，即∠GQP=90°．
∴∠QPB＞90°，这与△QPB的内角和为180°矛盾，
此时PQ不与AC垂直．
综上所述，当t=时，有PQ⊥AC．

（3）当PQ∥AC时，如图4，△BPQ∽△BAC，
∴=，
∴=，
解得t=2，即当t=2时，PQ∥AC．
此时AP=2，BQ=CQ=1，
∴P（2，-2），Q（4，-1）．
抛物线对称轴的解析式为x=2，
当H1为对称轴与OP的交点时，
有∠H1OQ=∠POQ，
∴当yH＜-2时，∠HOQ＞∠POQ．
作P点关于OQ的对称点P′，连接PP′交OQ于点M，
过P′作P′N垂直于对称轴，垂足为N，连接OP′，
在Rt△OCQ中，∵OC=4，CQ=1．
∴OQ=，
∵S△OPQ=S四边形ABCO-S△AOP-S△COQ-S△QBP=3=OQ×PM，
∴PM=，
∴PP′=2PM=，
∵∠NPP′=∠COQ．
∴△COQ∽△NPP′
∴=，
∴P′N=，PN=，
∴P′（，），
∴直线OP′的解析式为y=x，
∴OP′与NP的交点H2（2，）．
∴当yH＞时，∠HOP＞∠POQ．
综上所述，当yH＜-2或yH＞时，∠HOQ＞∠POQ．