Question

已知函数y=kx²-2x+（k是常数）
（1）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求k的值；
（2）若点M（1，k）在某反比例函数的图象上，要使该反比例函数和二次函数y=kx²-2x+都是y随x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；
（3）设抛物线y=kx²-2x+与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，且x₁＜x₂，x₁²+x₂²=1．在y轴上，是否存在点P，使△ABP是直角三角形？若存在，求出点P及△ABP的面积；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）本问注意分类讨论：若k=0，函数为一次函数；若k≠0，函数为二次函数，根据其△=0求解即可；
（2）根据反比例函数和二次函数的增减性，综合确定k应满足的条件和x的取值范围；
（3）由题意，首先根据一元二次方程根与系数关系，求出k的值；从而得到抛物线的解析式，画出抛物线的大致图象，以AB为直径作圆，圆与y轴的两个交点即为所求之点P；最后利用相似三角形求出点P的坐标和△ABP的面积．
【解析】
（1）若k=0，则y=-2x+是一次函数，与x轴只有一个交点，满足条件；
若k≠0，则y=kx2-2x+（k≠0）是二次函数，
由△=b2-4ac=4-6k=0，得k=．
∴k=0或．

（2）设反比例函数解析式为：y=，
∵点M（1，k）在反比例函数图象上，
∴m=k．
∴y=．
由反比例函数的性质可知，当y随x的增大而增大时，须满足条件：k＜0，x≠0．
二次函数y=kx2-2x+，抛物线开口向下，其对称轴为直线x=，
当y随x的增大而增大时，须满足条件：k＜0，x＜．
综上所述，要使该反比例函数和二次函数都是y随x的增大而增大，须满足条件：k＜0，x＜．

（3）存在．
抛物线解析式为：y=kx2-2x+，
令y=0，即kx2-2x+=0，
∴x1+x2=，x1x2=．
∵x12+x22=1，
∴（x1+x2）2-2x1x2=1，即：（）2-2•=1
整理得：k2+3k-4=0，
解得：k=-4或k=1．
又∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=4-6k＞0，解得k＜，
∴k=1不符合题意，舍去，∴k=-4．
∴抛物线的解析式为：y=-4x2-2x+=-4（x+）2+．
令y=0，解得x=，
∴A（，0），B（，0）．
画出函数大致图象如下，则OA=，OB=，AB=．

以AB为直径作圆，由图象可见，圆与y轴的交点有2个，因此所求的点P有两个．
连接PA、PB，易证△PAO∽△BPO，
∴，
∴OP2=OA•OB=×=，∴OP=．
S△ABP=AB•OP=××=．
综上所述，存在两个满足条件的点P．点P的坐标为（0，）或（0，-），△ABP的面积为．