Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=9，点O是斜边AB上一点，以O为圆心2为半径的圆分别与AC、BC相切于点D、E．
（1）求AC、BC的长；
（2）若AC=3，连接BD，求图中阴影部分的面积（π取3.14）．

Answer

（1）连接OD、OE，得出四边形CDOE是正方形，推出CE=CD=OD=OE=2，∠DOE=90°，设AD=x，求出BE=5-x，证△OEB∽△ADO，得出=，代入求出x即可；
（2）求出AC=3，AD=3-1=2，BC=6，根据阴影部分的面积S=SACB-S△ADB-（S正方形CDOE-S扇形ODE）代入求出即可．
【解析】
（1）连接OD、OE，
∵⊙O切BC于E，切AC于D，∠C=90°，
∴∠ADO=∠BEO=90°，∠ODC=∠C=∠OEC=90°，
∵OE=OD=2，
∴四边形CDOE是正方形，
∴CE=CD=OD=OE=2，∠DOE=90°，
∵∠OEB=∠C=90°，
设AD=x，
∵AC+BC=9，
∴BE=9-2-2-x=5-x，
∴OE∥AC，
∴∠EOB=∠A，
∴△OEB∽△ADO，
∴=，
∴=，
x=1或4，
∴AC=3，BC=6或AC=6，BC=3；

（2）AC=3，AD=3-1=2，BC=6，
∴阴影部分的面积S=S△ACB-S△ADB-（S正方形CDOE-S扇形ODE）
=×3×6-×1×6-（2×2-）
=9-3-（4-π）
=2+π
≈5.14．