Question

如图，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．且A（3，0），D（-1，0），E（0，3）．

（1）求点B的坐标；
（2）探究：坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，请直接写出s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．

Answer

（1）已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，进而能得到顶点B的坐标；
（2）△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，即AE=3BE，若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，那么该三角形必须满足两个条件：①有一个角是直角，②两直角边满足1：3的比例关系；然后分情况进行求解即可；
（3）过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个四边形；当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形．按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解．
【解析】
（1）由题意，设抛物线解析式为y=a（x-3）（x+1），
将E（0，3）代入上式，解得：a=-1．
∴y=-x2+2x+3，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点B的坐标为（1，4）；

（2）在△ABE中，∵AB2=（3-1）2+（0-4）2=20，AE2=（3-0）2+（0-3）2=18，BE2=（1-0）2+（4-3）2=2，
∴AB2=AE2+BE2，
∴△ABE是直角三角形，∠AEB=90°．
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE===，sin∠BAE===，cos∠BAE===．
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形．
①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合；
由D（-1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO==tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE，
满足△DEO∽△BAE的条件，因此O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）．
②DE为短直角边时，P2在x轴上；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠DEP2=∠AEB=90°，sin∠DP2E=sin∠BAE=；而DE==，
则DP2=DE÷sin∠DP2E=÷=10，OP2=DP2-OD=9，
即：P2（9，0）；
③DE为长直角边时，点P3在y轴上；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠EDP3=∠AEB=90°，cos∠DEP3=cos∠BAE=；
则EP3=DE÷cos∠DEP3=÷=，OP3=EP3-OE=；
综上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，-）；

（3）设直线AB的解析式为y=kx+b．
将A（3，0），B（1，4）代入，
得，解得，
∴y=-2x+6．
过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=，
∴F（，3）．
情况一：如图1，当0＜t≤时，设△AOE平移到△GNM的位置，MG交AB于点H，MN交AE于点S．
则ON=AG=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．
由△AHG∽△FHM，得=，
即=，解得HK=2t．
∴S阴=S△MNG-S△SNA-S△HAG=×3×3-（3-t）2-t•2t=-t2+3t；
情况二：如图2，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．
由△IQA∽△IPF，得=，
即=，解得IQ=2（3-t）．
∵AQ=VQ=3-t，
∴S阴=IV•AQ=（3-t）2=t2-3t+．
综上所述：s=．