Question

如图，⊙A与x轴交B（2，0）、C（4，0）点，OA=3，P是y轴上的一个动点，PD切⊙O于点D，则PD的最小值是（ ）

A．3
B．
C．
D．

Answer

连接AP，由B和C的坐标，得出OB及OC的值，根据OC-OB=BC求出BC的长，即为圆A的直径，可得出圆A的半径，进而由OA=OB+AB可得出OA的长，设P的坐标为（0，y），表示出OP=|y|，在直角三角形OAP中，根据勾股定理表示出AP2，由DP为圆A的切线，根据切线的性质得到AD与DP垂直，可得三角形APD为直角三角形，由AD及表示出的AP2，利用勾股定理表示出PD的长，根据完全平方式最小值为0，可得出当y=0时，PD达到最小值，即可求出此时PD的长．
【解析】
如图，连接AP．
∵B（2，0）、C（4，0），
∴OB=2，OC=4，
∴BC=OC-OB=4-2=2，即圆A的直径为2．
又∵DP为圆A的切线，
∴AD⊥DP，
∴∠ADP=90°，
设P（0，y），
在Rt△AOP中，OA=3，OP=|y|，
根据勾股定理得：AP2=OA2+OP2=9+y2，
在Rt△APD中，AD=1，
根据勾股定理得：PD2=AP2-AD2=9+y2-1=y2+8，
则PD=，
则当y=0时，PD达到最小值，最小值是=2．
故选C．