Question

如图1，己知矩形ABCD中，BC=2，AB=4，点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，同时点F从点C出发沿BC的延长线方向以每秒2个单位的速度匀速运动，当E运动到点B时，点F停止运动．连接EF交DC于K，连接DE，DF，设运动时间为t秒．
（1）求证：△DAE∽△DCF；
（2）当DK=KF时，求t的值；
（3）如图2，连接AC与EF相交于O，画EH⊥AC于H．
①试探索点E、F在运动过程中，OH的长是否发生改变，若不变，请求出OH的长；若改变，请说明理由．
②当点O是线段EK的三等分点时，直接写出tan∠FOC的值．

Answer

（1）求出==，∠DAE=∠DCF=90°，根据相似三角形的判定推出即可；
（2）根据相似得出∠ADE=∠CDF，求出EK=KF，证△FKC∽△FEB，得出=，求出即可；
（3）①点E、F在运动过程中，OH的长不变，理由是：作EM∥BC，交AC于M，设∠BAC=α，则tanα=，得出AE=t，CF=2t，求出EM=t，证△MEO∽△CFO，得出==，求出MO=CM，设HM=a，则EH=2a，AH=4a，求出MH=AM，推出OH=AC，求出AC即可求出OH；②tan∠FOC的值是或，理由是：根据△FKC∽△FEB求出KC=，根据△CKO∽△AEO得出=，当==时得出=2，求出t，即可得出AE长，根据△AEH∽△ACB，求出EH，当==时得出=，求出t，根据△AEH∽△ACB，求出EH的值，解直角三角形求出即可．
【解析】
（1）由题意，得AE=t，CF=2t．
∵矩形ABCD中，BC=AD=2，AB=CD=4，
∴==，
∵∠DAE=∠DCF=90°，
∴△DAE∽△DCF；

（2）∵△DAE∽△DCF，
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠CDF+∠EDC=90°，即∠EDF=90°，
∵DK=KF，
∴∠KDF=∠KFD，
∵∠DEK+∠KFD=90°，∠EDK+∠KDF=90°，
∴∠DEK=∠EDK，
∴DK=EK，
∴EK=KF，
∵AB∥CD，
∴△FKC∽△FEB，
∴=，
t=1；

（3）①点E、F在运动过程中，OH的长不变，
理由是：作EM∥BC，交AC于M，设∠BAC=α，则tanα=，
∵AB⊥BC，
∴ME⊥AB，
∵AB⊥AC，
∴∠HEM=α，
∵AE=t，CF=2t，
∴EM=t，
∵∠EOM=∠FOC，∠MEO=∠CFO，
∴△MEO∽△CFO，
∴==，
∴MO=OC，
∴MO=CM，
设HM=a，则EH=2a，AH=4a，
∴MH=AM，
∴OH=OM+MH=CM+AM=AC，
在Rt△ABC中，AB=4，BC=2，由勾股定理得：AC=2，
∴OH=，
即点E、F在运动过程中，OH的长度不变，是；
②tan∠FOC的值是或，
理由是：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴△FKC∽△FEB，
∴=，
∴=，
∴KC=，
∵AB∥CD，
∴△CKO∽△AEO，
∴=，
当==时，
=2，
t=0（舍去），t=，
∵EH⊥AC，
∴∠EHA=∠ABC=90°，
∵∠EAH=∠BAC，
∴△AEH∽△ACB，
∴=，
∴=，
∴EH=，
∴tan∠FOC=tan∠EOH===；
当==时，
=，
t=0（舍去），t=，
∵EH⊥AC，
∴∠EHA=∠ABC=90°，
∵∠EAH=∠BAC，
∴△AEH∽△ACB，
∴=，
∴=，
∴EH=，
∴tan∠FOC=tan∠EOH===．