Question

对于二次函数C：y=x²-4x+6和一次函数l：y=-x+6，把y=t（x²-4x+6）+（1-t）（-x+6）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中，t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．设二次函数C和一次函数l的两个交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．
（1）求点A，B的坐标，并判断这两个点是否在抛物线E上；
（2）二次函数y=-x²+5x+5是二次函数y=x²-4x+6和一次函数y=-x+6的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由；
（3）若抛物线E与坐标轴的三个交点围成的三角形面积为6，求抛物线E的解析式．

Answer

（1）联立二次函数C与一次函数l的解析式，消掉y得到关于x的一元二次方程，解方程再求出相应的y的值，即可得到A、B的坐标，然后把点A、B的坐标代入抛物线E的解析式进行验证即可；
（2）根据抛物线E必过定点A、B，代入二次函数y=-x2+5x+5进行验证即可；
（3）设抛物线E截x轴的线段长为a，先利用三角形的面积求出a的长，再根据点B的坐标求出与x轴的另一交点的坐标，然后代入抛物线求解即可得到t的值，从而得解．
【解析】
（1）联立，
消掉y得，x2-4x+6=-x+6，
整理得，x2-6x=0，
解得x1=0，x2=6，
∴y1=6，y2=-6+6=0，
∴点A（0，6），B（6，0），
当x=0时，y=t（×02-4×0+6）+（1-t）（-0+6）=6t+6-6t=6，
当x=6时，y=t（×62-4×6+6）+（1-t）（-6+6）=0，
∴点A、B在抛物线E上；

（2）∵抛物线E一定经过点A、B，
而对于二次函数y=-x2+5x+5，当x=0时，y=5≠6，
∴二次函数y=-x2+5x+5不是二次函数y=x2-4x+6和一次函数y=-x+6的一个“再生二次函数”；

（3）由（1）得，抛物线E与x轴的一个交点为B，与y轴的交点为A，
设抛物线E截x轴的线段长为a，则S=a×6=6，
解得a=2，
所以，与x轴的另一个交点为（4，0）或（8，0），
点（4，0）代入抛物线E得，y=t（×42-4×4+6）+（1-t）（-4+6）=0，
解得t=，
此时y=（x2-4x+6）+（1-）（-x+6）=x2-x+6，
点（8，0）代入抛物线E得，y=t（×82-4×8+6）+（1-t）（-8+6）=0，
解得t=，
此时，y=（x2-4x+6）+（1-）（-x+6）=x2-x+6．