Question

如图，二次函数y=ax²+x+c的图象与x轴交于点A、B两点，且A点坐标为（-2，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求出这个二次函数的解析式；
（2）直接写出点B的坐标为______；
（3）在x轴是否存在一点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大？若存在，请求出Q点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）因为y=ax2+x+c的图象经过A（-2，0），C（0，3），代入求出c、a的值，即可得到答案；
（2）把y=0代入求出x的值，即可得到答案；
（3）在Rt△AOC中根据勾股定理求出AC，根据等腰三角形的性质求出，①当P1A=AC时（P1在x轴的负半轴），P1（-2-，0）；②当P2A=AC时（P2在x轴的正半轴），P2（-2，0）；③当P3C=AC时（P3在x轴的正半轴），P3（2，0）；④当P4C=P4A时（P4在x轴的正半轴），P4（，0），即可得出答案；
（4）设Q点坐标为（x，y），因为点Q在y=-x2+x+3上，得出Q点坐标为（x，-x2+x+3），连接OQ，根据S四边形ABQC=S△AOC+S△OQC+S△OBQ，代入求出即可．
【解析】
（1）∵y=ax2+x+c的图象经过A（-2，0），C（0，3），
∴c=3，a=-，
∴所求解析式为：y=-x2+x+3，
答：这个二次函数的解析式是y=-x2+x+3．

（2）【解析】
（6，0），
故答案为：（6，0）．

（3）【解析】
在Rt△AOC中，
∵AO=2，OC=3，∴AC=，
，①当P1A=AC时（P1在x轴的负半轴），P1（-2-，0）；
②当P2A=AC时（P2在x轴的正半轴），P2（-2，0）；
③当P3C=AC时（P3在x轴的正半轴），P3（2，0）；
④当P4C=P4A时（P4在x轴的正半轴），
在Rt△P4OC中，设P4O=x，则（x+2）2=x2+32
解得：x=，
∴P4（，0）；
答：在x轴存在一点P，使△ACP是等腰三角形，满足条件的P点坐标是（-2-，0）或（-2，0）或（2，0）或（，0）．

（4）【解析】
如图，设Q点坐标为（x，y），因为点Q在y=-x2+x+3上，
即：Q点坐标为（x，-x2+x+3），
连接OQ，
S四边形ABQC=S△AOC+S△OQC+S△OBQ，
=3+x+3（-x2+x+3）
=-x2+x+12，
∵a＜0，
∴S四边形ABQC最大值=，
Q点坐标为（3，），
答：在第一象限中的抛物线上存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大，Q点坐标是（3，），面积的最大值是．