Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为边AC上一个点（可以包括点C但不包括点A），以P为圆心PA为半径作⊙P交AB于点D，过点D作⊙P的切线交边BC于点E．
（1）求证：BE=DE；
（2）若PA=1，求BE的长；
（3）在P点的运动过程中，请直接写出线段BE长度的取值范围为______．

Answer

（1）首先得出∠BDE+∠PDA=90°，进而得出∠B+∠A=90°，利用PD=PA得出∠PDA=∠A进而得出答案；
（2）利用勾股定理得出ED2+PD2=EC2+CP2=PE2，求出BE即可；
（3）分别根据当D点在A点时以及当P与C重合时，求出BE的长，进而得出BE的取值范围．
（1）证明：如图1，连接PD．
∵DE切⊙O于D．
∴PD⊥DE．
∴∠BDE+∠PDA=90°．
∵∠C=90°．
∴∠B+∠A=90°．
∵PD=PA．
∴∠PDA=∠A．
∴∠B=∠BDE．∴BE=DE；

（2）【解析】
如图1，连接PE，设DE=BE=x，则EC=4-x．
∵PA=PD=1，AC=3．∴PC=2．
∵∠PDE=∠C=90°，
∴ED2+PD2=EC2+CP2=PE2．
∴x2+1=（4-x）2+2．
解得x=．
∴BE=；

（3）【解析】
如图2，当D点在A点时，
∵BE=ED，设BE=ED=x，则EC=4-x，
∴EC2+AC2=AE2，
∴（4-x）2+32=x2，
解得：x=，
如图3，当P与C重合时，
∵BE=ED，设BE=ED=x，则EC=4-x，
∴EC2=DC2+DE2，
∴（4-x）2=32+x2，
解得：x=，
∵P为边AC上一个点（可以包括点C但不包括点A），
∴线段BE长度的取值范围为：≤BE＜．
故答案为：≤BE＜．