Question

已知一次函数y=2x-k与反比例函数y=的图象相交于A和B两点，其中有一个交点A的横坐标为3．
（1）分别求两个函数的关系式；
（2）求A、B两点的坐标及△AOB的面积；
（3）若直线AB上有一点P，使得△APO∽△AOB，求P点坐标．

Answer

（1）首先把A的横坐标为3代入两个函数的解析式中，然后就可以确定k的值，进而得出两个函数的关系式；
（2）利用两个函数的解析式组成方程组，解方程组就可以得到A，B两点的坐标；求出直线AB与x轴的交点坐标，然后利用面积的分割法求出△AOB的面积；
（3）先根据AB两点的坐标得出OA2及AB的长，再由△APO∽△AOB得出=，故可得出AP的长，因为点P在直线y=2x-4上，所以设P（x，2x-4），根据两点间的距离公式即可得出AP的表达式，得出x的值，进而得出结论．
【解析】
（1）∵一次函数y=2x-k与反比例函数y=的图象相交于A和B两点，其中有一个交点A的横坐标为3，
∴，
解得k=4．
∴一次函数的解析式为：y=2x-4；反比例函数的关系式为：y=；

（2）∵一次函数的解析式为y=2x-4；反比例函数的关系式为y=，
∴2x-4=，解得x1=3，x2=-1，
∴A（3，2），B（-1，-6）；
∵令直线AB解析式y=2x-4中y=0，
解得x=2，
∴直线AB与x轴交点坐标为C（2，0），
∴S△AOB=S△AOC+S△COB=×2×2+×2×|-6|=8；

（3）∵A（3，2），B（-1，-6），
∴OA2=32+22=13，AB==4
∵△APO∽△AOB，
∴=，
∴OA2=AP•AB，即13=AP•4，
解得AP=，
∵点P在直线y=2x-4上，
∴设P（x，2x-4），
∴AP=，
解得x=3±，
∴P点坐标为（3+，2+2）或（3-，6-2）．