Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向终点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B-C-A方向向终点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．
（1）求AC，BC的长．
（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm²），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM的周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．
 

Answer

（1）根据AC：BC=4：3，设AC=4kcm，BC=3kcm，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解得到AC与BC的长；
（2）分两种情况考虑：①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，根据△QHB∽△ACB，得到比例式，表示出QH，由PB为底，QH为高列出y与x的关系式（0＜x≤3）；②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QE⊥AB于E，由△AQE∽△ABC，得到比例式，表示出QE，同理表示出y与x的关系式（3＜x＜7）；
（3）存在，理由为：当x=5秒时，求出AQ，AP，根据AC与BC的长，得到PQ为三角形ABC的中位线，再由AC与BC垂直，得到PQ与AC垂直，即PQ为AC的垂直平分线，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出PC与AP的长，当P与M重合时，三角形BCM周长最小，求出周长的最小值即可．

【解析】
（1）设AC=4kcm，BC=3kcm，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC2+BC2=AB2，即（4k）2+（3k）2=102，
解得：k=2，
∴AC=8cm，BC=6cm；

（2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，如图所示，
∵∠ACB=∠QHB=90°，∠B=∠B，
∴△QHB∽△ACB，
∴=，即=，
∴QH=1.6x，
∴y=BP×QH=×1.6x（10-x）=-0.8 x2+8x（0＜x≤3）；
②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QE⊥AB于E，如备用图所示，
∵∠ACB=∠AEQ=90°，∠A=∠A，
∴△AQE∽△ABC，
∴=，即=，
∴QE=8.4-1.2x，
∴y=PB×QE=0.6x2-10.2x+42（3＜x＜7）；

（3）存在，理由为：当x=5秒时，AQ=14-2x=14-10=4，AP=x=5，

∵AC=8，AB=10，
∴PQ是△ABC的中位线，
∴PQ∥BC，
∴PQ⊥AC，
∴PQ是AC的垂直平分线，
∴PC=AP=5，
∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小，
∴△BCM的周长为：MB+BC+MC=5+6+5=16，
∴△BCM的周长最小值为16．