Question

阅读材料：如图，过△ABC的三个顶点分别作出水平垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：S_△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
解答下列问题：如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4）交x轴于点A，交y轴于点B（0，3）

（1）求抛物线解析式和线段AB的长度；
（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S_△CAB；
（3）在第一象限内求一点P，使S_△PAB=S_△CAB．

Answer

（1）利用顶点式求得抛物线的解析式，然后求得点A的坐标，从而求得线段AB的长；
（2）利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后求得CD的长，从而求得三角形ABC的面积；
（3）设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，表示出h关于x的函数关系式，然后利用面积相等求得x的值，从而确定点P的坐标．
【解析】
（1）设抛物线的解析式为：，
把B（0，3）代入解析式求得a=-1
所以，
令y1=0，得0=-x2+2x+3，解得x1=-1，x2=3
∴A点的坐标为（3，0）
∴AB=3；

（2）设直线AB的解析式为：y2=kx+b
由A（3，0），B（0，3）
∴
∴直线AB的解析式为y2=-x+3 …（4分）
因为C点坐标为（1，4），
所以当x=1时，y1=4，y2=2，
所以CD=4-2=2，
（平方单位）；

（3）设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，
则；
由S△PAB=S△CAB得：
，
解得x=2或x=1（舍）．
所以P（2，3）．