Question

如果一元二次方程ax²+bx+c=0的两根x₁、x₂均为正数，且满足（其中x₁＞x₂），那么称这个方程有“邻近根”．
（1）判断方程是否有“邻近根”，并说明理由；
（2）已知关于x的一元二次方程mx²-（m-1）x-1=0有“邻近根”，求m的取值范围．

Answer

（1）先解方程得到x1=，x2=1，则满足，所以可判断方程有“邻近根”；
（2）根据判别式的意义得到m≠0且△=（m-1）2-4m×（-1）=（m+1）2≥0，利用求根公式解得x1=1，或，x2=1，则m＜0，然后讨论：
若x1=1，，则，是关于m的正比例函数，根据正比例函数性质得到-2＜m＜-1；
若，x2=1，则，是关于m的反比例函数，根据反比例函数性质得，最后综合得到m的取值范围．
【解析】
（1）方程有“邻近根”．理由如下：
∵，
∴（x-1）（x-）=0，
∵x1＞x2，
∴x1=，x2=1，
这时x1＞0，x2＞0，且，
∵，
∴满足，
∴方程有“邻近根”；

（2）由已知m≠0且△=（m-1）2-4m×（-1）=（m+1）2≥0，
∴
∴x1=1，或，x2=1，
∵一元二次方程ax2+bx+c=0有“邻近根”，
∴x1、x2均为正数，
∴m＜0
若x1=1，，则，是关于m的正比例函数，
∵-1＜0，
∴随m的增大而减小．
当1＜-m＜2时，
∴-2＜m＜-1；
若，x2=1，则，是关于m的反比例函数，
∵-1＜0，
∴在第二象限，随m的增大而增大．
当时，
∴．…（9分）
综上，m的取值范围是-2＜m＜-1或．