过点D作DG⊥x轴于点G,过点E作EF⊥y轴于点F.令A(t,),则AD=AB=DG=,AE=AC=EF=t,则图中阴影部分的面积=△ACE的面积+△ABD的面积=t2+×,因此只需求出t2的值即可.先在直角△ADE中,由勾股定理,得出DE=,再由△EFQ∽△DAE,求出QE=,△ADE∽△GPD,求出DP=:,然后根据QE:DP=4:9,即可得出t2=.
【解析】
解法一:过点D作DG⊥x轴于点G,过点E作EF⊥y轴于点F.
令A(t,),则AD=AB=DG=,AE=AC=EF=t.
在直角△ADE中,由勾股定理,得DE==.
∵△EFQ∽△DAE,
∴QE:DE=EF:AD,
∴QE=,
∵△ADE∽△GPD,
∴DE:PD=AE:DG,
∴DP=.
又∵QE:DP=4:9,
∴=:=4:9,
解得t2=.
∴图中阴影部分的面积=AC2+AB2=t2+×=+3=;
解法二:∵QE:DP=4:9,
∴EF:PG=4:9,
设EF=4t,则PG=9t,
∴A(4t,),
由AC=AE AD=AB,
∴AE=4t,AD=,DG=,GP=9t,
∵△ADE∽△GPD,
∴AE:DG=AD:GP,
4t:=:9t,即t2=,
图中阴影部分的面积=4t×4t+××=.
故答案为:.