Question

如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC边、CD边上的动点，满足∠EAF=45°．
（1）求证：BE+DF=EF；
（2）若正方形边长为1，求△CEF内切圆半径的最大值．

Answer

（1）延长FD到G，使DG=BE，连接AG，证△GDA≌△EBA，△GAF≌△EAF，根据全等三角形的性质得出GD+DF=BE+DF=EF进而求出即可；
（2）首先令BE=a，DF=b，则EF=a+b，r==1-（a+b），进而利用勾股定理得出（a+b）2+（a+b）-1≥0，进而求出即可．
（1）证明：延长FD到G，使DG=BE，连接AG，
∵在△GDA和△EBA中，
，
∴△GDA≌△EBA，
∴AG=AE，∠GAD=∠EAB，
故∠GAF=45°，
在△GAF和△EAF中，
∵，
∴△GAF≌△EAF，
∴GF=EF，
即GD+DF=BE+DF=EF；

（2）【解析】
令BE=a，DF=b，则EF=a+b，r==1-（a+b），
∵（1-a）2+（1-b）2=（a+b）2，
整理得1-（a+b）=ab，而ab≤（a+b）2，
（a+b）2+（a+b）-1≥0，
解得：a+b≥-2+2或a+b≤-2-2（舍去），
r=1-（a+b）≤1-（-2+2）=3-2，
当且仅当a=b=-1时，等号成立．