Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点C，E是⊙O上的一点，并且
∠BEC=45°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5cm，求阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer

（1）连接OC．欲证CD是⊙O的切线，只需证明OC⊥CD即可；
（2）S阴影=S平行四边形ABCD-S△BOC-S扇形AOC．
（1）证明：如图所示：连接OC．
∵∠BEC=45°（已知），
∴∠BOC=2∠BEC=90°（在同圆中，同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴OC⊥AB．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD（平行四边形的对边互相平行），
∴OC⊥CD．
∵点C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；

（2）【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴AB=CD（平行四边形的对边相等）．
又∵⊙O的半径是5，
∴AB=10．
∵OC⊥AB，
∴S平行四边形ABCD=AB•OC=10×5=50，
S△BOC=OB•OC=，
S扇形AOC==，
则S阴影=S平行四边形ABCD-S△BOC-S扇形AOC=．