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在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数y1=ax2+3x+c的图象经过原点及点A...

在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数y1=ax2+3x+c的图象经过原点及点A(1,2),与x轴相交于另一点B.
(1)求:二次函数y1的解析式及B点坐标;
(2)若将抛物线y1以x=3为对称轴向右翻折后,得到一个新的二次函数y2,已知二次函数y2与x轴交于两点,其中右边的交点为C点.点P在线段OC上,从O点出发向C点运动,过P点作x轴的垂线,交直线AO于D点,以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF(当P点运动时,点D、点E、点F也随之运动);
①当点E在二次函数y1的图象上时,求OP的长.
②若点P从O点出发向C点做匀速运动,速度为每秒1个单位长度,同时线段OC上另一个点Q从C点出发向O点做匀速运动,速度为每秒2个单位长度(当Q点到达O点时停止运动,P点也同时停止运动).过Q点作x轴的垂线,与直线AC交于G点,以QG为边在QG的左侧作正方形QGMN(当Q点运动时,点G、点M、点N也随之运动),若P点运动t秒时,两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上(正方形在x轴上的边除外),求此刻t的值.

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(1)利用二次函数y1=ax2+3x+c的图象经过原点及点A(1,2),分别代入求出a,c的值即可; (2)①过A点作AH⊥x轴于H点,根据DP∥AH,得出△OPD∽△OHA,进而求出OP的长; ②分别利用当点F、点N重合时,当点F、点Q重合时,当点P、点N重合时,当点P、点Q重合时,求出t的值即可. 【解析】 (1)∵二次函数y1=ax2+3x+c的图象经过原点及点A(1,2), ∴将(0,0),代入得出: c=0, 将(1,2)代入得出: a+3=2, 解得:a=-1, 故二次函数解析式为:y1=-x2+3x, ∵图象与x轴相交于另一点B, ∴0=-x2+3x, 解得:x=0或3, 则B(3,0); (2)①由已知可得C(6,0) 如图:过A点作AH⊥x轴于H点, ∵DP∥AH, ∴△OPD∽△OHA, ∴=, 即=, ∴PD=2a, ∵正方形PDEF, ∴E(3a,2a), ∵E(3a,2a)在二次函数y1=-x2+3x的图象上, ∴a=; 即OP=. ②如图1: 当点F、点N重合时,有OF+CN=6, ∵直线AO过点(1,2), 故直线解析式为:y=2x, 当OP=t, 则AP=2t, ∵直线AC过点(1,2),(6,0), 代入y=ax+b, , 解得:, 故直线AC的解析式为:y=-x+, ∵当OP=t,QC=2t, ∴QO=6-2t, ∴GQ=-(6-2t)+=t, 即NQ=t, ∴OP+PN+NQ+QC=6, 则有3t+2t+t=6, 解得:t=; 如图2: 当点F、点Q重合时,有OF+CQ=6,则有3t+2t=6, 解得:t=; 如图3: 当点P、点N重合时,有OP+CN=6,则有t+2t+t=6, 解得:t=, 如图4: 当点P、点Q重合时,有OP+CQ=6,则有t+2t=6, 解得:t=2. 故此刻t的值为:t1=,t2=,t3=,t4=2.
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考点分析:
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∴△ADE是等边三角形,∴AD=DE.在△DBE中,BD+EB>DE,即:BD+DC>AD
实践探索:
(1)请你仿照上面的思路,探索解决下面的问题:
如图3,点D是等腰直角三角形△ABC边上的点(点D不与B、C重合).求证:BD+DC>manfen5.com 满分网AD.
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创新应用:
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组别捐款额(x)元
A10≤x<100
B 100≤x<200
C 200≤x<300
D 300≤x<400
E x≥400
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(2)求出C组的频数并补全直方图.
(3)若该社区有500户住户,请估计捐款不少于300元的户数是多少?
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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