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如图1,已知:已知:等边△ABC,点D是边BC上一点(点D不与点B、点C重合),...

如图1,已知:已知:等边△ABC,点D是边BC上一点(点D不与点B、点C重合),求证:BD+DC>AD.
下面的证法供你参考:
把△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE,连接ED,则有△ACD≌△ABE,DC=EB,∵AD=AE,∠DAE=60°,
∴△ADE是等边三角形,∴AD=DE.在△DBE中,BD+EB>DE,即:BD+DC>AD
实践探索:
(1)请你仿照上面的思路,探索解决下面的问题:
如图3,点D是等腰直角三角形△ABC边上的点(点D不与B、C重合).求证:BD+DC>manfen5.com 满分网AD.
(2)如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时,BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系?直接写出结论.
创新应用:
(3)已知:如图4,等腰△ABC中,AB=AC,且∠BAC=α(α为钝角),D是等腰△ABC外一点,且∠BDC+∠BAC=180°,BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系?写出你的猜想,并证明.
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(1)把△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE,连接ED,则易证△ACD≌△ABE,根据勾股定理可以的到DE=AD,在△DBE中利用两边之和大于第三边即可得到; (2)把△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE,连接ED,则易证△ACD≌△ABE,△AED是等腰直角三角形,则DE=AD,在△BED中,利用三角形三边关系定理即可证得; (3)把△ACD绕点A顺时针旋转α,得到△ABE,则有△ACD≌△ABE,则易证E、B、D三点共线,在等腰△ADE中,利用两边之和大于第三边即可得到. 【解析】 (1)证明:把△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE,连接ED 则有△ACD≌△ABE, DC=EB ∵AD=AE,∠DAE=90° ∴△ADE是等腰直角三角形 ∴DE=AD 在△DBE中,BD+EB>DE, 即:BD+DC>AD; (2)把△ABD旋转,使AB与AC重合,然后绕AC旋转,得到△ACD′, 则BD=CD′, 在△CDD′中,CD+CD′>DD′, 即BD+CD>DD′, ∵△ADD′是钝角三角形,则DD′>AD 当D运动到B的位置时,DD′=BC=AD. ∴BD+DC≥AD; (3)猜想1:BD+DC<2AD 证明:把△ACD绕点A顺时针旋转α,得到△ABE则有△ACD≌△ABE,DC=EB,∠ACD=∠ABE ∵∠BAC+∠BDC=180° ∴∠ABD+∠ACD=180° ∴∠ABD+∠ABE=180° 即:E、B、D三点共线. ∵AD=AE, ∴在△ADE中,AE+AD>ED,即BD+DC<2AD.
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考点分析:
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组别捐款额(x)元
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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