Question

如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，点O为AB边的中点，点M是BC边上一动点（不与点B、C重合），AD⊥AB，垂足为点A．连接MO，将△BOM沿直线MO翻折，点B落在点B₁处，直线M B₁与AC、AD分别交于点F、N．
（1）当∠CMF=120°时，求BM的长；
（2）设BM=x，y=，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）连接NO，与AC边交于点E，当△FMC和△AEO相似时，求BM的长．

Answer

（1）根据翻折变换的性质得出，当∠CMF=120°时，∠BMO=30°，再利用MB=求出即可；
（2）首先得出△ANO≌△B1NO，进而得出△MB1O∽△OB1N，△CMF∽△ANF，利用相似三角形的性质得出===，即可得出答案；
（3）根据△FMC和△AEO相似得出有两种情况即：当△FMC∽△AEO时或当△FMC∽△AOE时，分别利用相似三角形的性质以及解直角三角形求出即可．
【解析】
（1）当∠CMF=120°时，
∵将△BOM沿直线MO翻折，点B落在点B1处，
∴∠BMO=∠OMB1，
∵∠CMF=120°，
∴∠BMO=30°，
∵AB=BC=4，点O为AB边的中点，
∴BO=2，
∴Rt△MOB中，MB===2，；

（2）连接ON，
由（1）可得：
在Rt△ANO和Rt△B1NO中，
∵
∴△ANO≌△B1NO（HL），
∴∠AON=∠B1ON，AN=NB1，
又∵∠MOB1=∠MOB，
∴∠NOM=90°，
∴∠OMN=∠NOB1，
又∵∠OB1M=∠OB1N=∠B=90°，
∴△MB1O∽△OB1N，
∴
∴，
又∵MB1=MB=x，OB1=OB=2，
∴22=x•NB1，
∴，
∴，
∵AD⊥AB，
∴∠DAB=90°，
又∵∠B=90°，
∴AD∥BC，
∴△CMF∽△ANF，
∴====-x2+x，
∴y=-x2+x（0＜x＜4）；

（3）由题意知：∠EAO=∠C=45°
∵△FMC和△AEO相似，
∴只有两种情况：当△FMC∽△AEO时或当△FMC∽△AOE时，
①如图2，当△FMC∽△AEO时，有∠FMC=∠AEO，∠CFM=∠AOE，
可证：∠AOE=∠OMB=∠FMO，
则∠CFM=∠FMO，
∴OM∥AC，
∴∠OMB=∠C=45°，
∴Rt△MOB中，MB=OB•tan45°=2，
②如图3，当△FMC∽△AOE时，
则∠FMC=∠AOE，
∵∠AOE=∠OMB=∠OMF，
∴∠CMF=∠OMF=∠OMB=60°，
∴Rt△MOB中，MB==，
所以，综上述，知BM=2或．