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如图,直角坐标系中,A(-2,0),B(8,0),以AB为直径作半⊙P交y轴于M...

如图,直角坐标系中,A(-2,0),B(8,0),以AB为直径作半⊙P交y轴于M,以AB为一边作正方形ABCD.
(1)直接写出C、M两点的坐标.
(2)连CM,试判断直线CM是否与⊙P相切?说明你的理由.
(3)在x轴上是否存在一点Q,使△QMC周长最小?若存在,求出Q坐标及最小周长;若不存在,请说明理由.
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(1)因为ABCD为正方形,且边长为10,所以易得C点坐标;连接PM,根据P点坐标和半径求OM可得M点坐标. (2)根据CM、PM、PC的长判定△PCM为直角三角形,得∠PMC=90°,从而判断相切.或证△PCM≌△PCB得证. (3)因CM长度固定,要使△QMC周长最小,只需PM+PC最小.作M关于x轴的对称点M′,连接CM′,交x轴于Q点,根据对称性及两点之间线段最短说明存在Q点. 【解析】 (1)如图1,连MP,PC; ∵A(-2,0),B(8,0), ∴AB=10. ∵四边形ABCD为正方形, ∴BC=AB=10, ∴C(8,10). 在Rt△OPM中,OP=3,MP=5, ∴OM=4,即M(0,4). (2)CM与⊙P相切. 理由:Rt△CBP中,CB=10,BP=5, ∴CP2=125. △CEM中,EM=6,CE=8, ∴CM2=100. ∵100+25=125, ∴△CMP中,CM2+MP2=CP2, ∴∠CMP=90°. 即:PM⊥CM. ∴CM与⊙P相切. (3)△QMC中,CM恒等于10,要使△QMC周长最小,即要使MQ+QC最小. 如图2,作M关于x轴对称点M′,连CM′交x轴于点Q,连MQ,此时,△QMC周长最小. ∵C(8,10),M'(0,-4), 设直线CM':y=kx+b(k≠0) ∴, 解得:, ∴y=x-4, ∴Q(,0). ∵x轴垂直平分MM′, ∴QM=QM', ∴MQ+QC=M'Q+QC=M'C. △CEM'中,CE=8,EM'=14 ∴CM′=2 ∴△QMC周长最小值为2+10. ∴存在符合题意的点Q,且Q(,0) 此时△QMC周长最小值为2+10.
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考点分析:
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