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如图,把正方形ACFG与Rt△ACB按如图(甲)所示重叠在一起,其中AC=2,∠...

如图,把正方形ACFG与Rt△ACB按如图(甲)所示重叠在一起,其中AC=2,∠BAC=60°,若把Rt△ACB绕直角顶点C按顺时针方向旋转,使斜边AB恰好经过正方形ACFG的顶点F,得△A′B′C′,A B分别与A′C,A′B′相交于D、E,如图(乙)所示.
①△ACB至少旋转多少度才能得到△A′B′C′?说明理由;
②求△ACB与△A′B′C′的重叠部分(即四边形CDEF)的面积(若取近似值,则精确到0.1)?manfen5.com 满分网
(1)根据题意,结合旋转的性质:可得△A′CF是等边三角形,进而可得∠ACA′=90°-60°=30°,故至少应旋转30°; (2)根据题意分别求得△A′DE的面积与△ABC的面积;观察图形分析可得四边形DCFE的面积为:S△A’CF-S△A′DE,代入数据可得答案. 【解析】 (1)∵ACFG是正方形,A'B′经过点F, ∴A′C=CF. 又∵∠A′=60°, ∴△A′CF是等边三角形.(2分) ∵∠A′CF=60°, ∴∠ACA′=90°-60°=30°. ∴△ABC至少旋转30°才能得到△A′CB′.(5分) (2)∵∠ACA′=30°,∠BAC=60°, ∴∠A′DE=90°. 又∵AC=2, 可求得CD=,A′D=2-.(6分) 在Rt△A′DE中, DE=A′Dtan60°=(2-)•=2-3. ∴△A′DE的面积为:A′D•DE=(2-)•(2-3)=.(8分) 又∵A'B′=4,A′F=2, ∴F是A'B′的中点. ∴△A′CF的面积=△ABC的面积. 而B′C=A′C•tan60°=2, ∴S△ABC=×2×2=2,S△A’CF=, ∴四边形DCFE的面积为:-()=-+6=6-.(10分) (若取近似值,则结果应约为1.7.)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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