Question

如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAC分别交DC、BC于点H、E，延长AB至点F，使BF=BE，连接CF，延长AE交CF于点G，连接OG．下列结论：①△ABE≌△CBF；②OG∥AB；③AH=HG；④以AG为直径的圆与CF相切．其中正确的个数有（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

①根据“SAS”可证明，故正确；
②由①可得∠F=∠AEB；又∠AEB+∠EAB=90°，所以∠F+∠BAE=90°，即AG⊥CF．根据“ASA”证明△FCG≌△CAG，得G是CF的中点．根据三角形中位线定理可得OG∥AB，故正确；
③因为AO=OC，若AH=HG，则OH∥CG；而OB∥EF，故错误；
④由②可证，故正确．
【解析】
①∵AB=BC，∠ABE=∠CBF=90°，BE=BF，
∴△ABE≌△CBF．故正确；
②∵△ABE≌△CBF，
∴∠AEB=∠F．
∵∠AEB+∠EAB=90°，
∴∠F+∠BAE=90°，
∴∠AGF=90°=∠AGC．
又∵∠CAG=∠FAG，AG公共边，
∴△FAG≌△CAG．
∴FG=CG．
∵AO=OC，
∴OG∥AB．故正确；
③∵AO=OC，若AH=HG，则OH∥CG．而OB∥EF，故错误；
④∵AG⊥CF，
∴以AG为直径的圆与CF相切．故正确．
所以正确的有①②④3个．
故选C．