Question

如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
①求证：CE=CF；
②在图①中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE、BE、GD有何关系？证明你的结论；
③运用①②解答中所积累的经验和知识，完成下题．如图②在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD）∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求DE长．

Answer

（1）利用已知条件，可证出△BCE≌△DCF（SAS），即CE=CF．
（2）借助（1）的全等得出∠BCE=∠DCF，∴∠GCF=∠BCE+∠DCG=90°-∠GCE=45°，即∠GCF=∠GCE，又因为CE=CF，CG=CG，∴△ECG≌△FCG，∴EG=GF，∴GE=DF+GD=BE+GD．
（3）过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，先证四边形ABCG是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
再设DE=x，利用（1）、（2）的结论，在Rt△AED中利用勾股定理可求出DE．
（1）证明：在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF=90°，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF，
∴CE=CF；                                        

（2）【解析】
GE=BE+GD，
理由：∵△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD，
即∠ECF=∠BCD=90°，又∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠ECF-∠ECG=45°，
∵CE=CF，∠GCF=∠GCE，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG，
∴EG=GF，
∴GE=DF+GD=BE+GD；                      

（3）【解析】
过C作CG⊥AD于G，
在直角梯形ABCD中∵AD∥BC，∠A=∠B=90°，∠CGA=90°，AB=BC，
∴四边形ABCG为正方形，
∴AG=BC=12，
∵∠DCE=45°，由①②可得ED=BE+DG，
设DE=x，则DG=x-4，
∴AD=16-x
在Rt△AED中，∵DE2=AD2+AE2，∴x2=（16-x）2+82
∴x=10，
即DE=10．