Question

如图，直线AB与反比例函数y=在第一为象限内交于点P，点P的横坐标为6，直线AB与x轴、y轴分别交于A、B两点，且tan∠ABO=1
（1）直接写出点P的坐标；
（2）求出直线AB的解析式；
（3）C为线段AB上一点，过C作y轴的平行线交反比例函数y=的图象于D点，连接DP，求点C的坐标为多少时，△CDP是直角等腰三角形？

Answer

（1）利用待定系数法把点P的横坐标为6，代入反比例函数解析式即可；
（2）首先过P作PE⊥x轴于E点，根据tan∠ABO=1可得∠BAO=∠ABO=∠PAE=45°，再根据P点坐标可得到AE=PE=2，进而得到A点坐标，再利用待定系数法把A、P两点的坐标代入一次函数解析式，求出k、b的值，即可得到函数解析式；
（3）要使△CDP是等腰直角三角形，只能∠DPC=90°，根据C、D点所在函数解析式了可设 C（m，m-4），D（m，），过P作PF⊥CD于F，则F（m，2），再根据等腰三角形三线合一的性质可得-2=2-（m-4），解方程即可求出m的值，进而可得到点C的坐标．
【解析】
（1）∵P点在反比例函数y=的图象上，
∴xy=12，
∵点P的横坐标为6，
∴y=2，
∴P（6，2）；

（2）过P作PE⊥x轴于E点，
∵tan∠ABO=1，
∴∠ABO=45°，
∴∠BAO=∠ABO=∠PAE=45°，
∵P（6，2），
∴PE=AE=2，
∴A（4，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b 且过A（4，0），P（6，2），
，
解得：，
∴y=x-4；

（3）要使△CDP是等腰直角三角形，只能∠DPC=90°，
设 C（m，m-4），则D（m，），
过P作PF⊥CD于F，则F（m，2），
∵PD=PC，PF⊥CD，
∴DF=CF，
∴-2=2-（m-4），
∴m2-8m+12=0
（m-2）（m-6）=0
∴m1=2，m2=6（不合题意，舍去）                    
∴当C（2，-2）时，△CDP为等腰直角三角形．