Question

如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2AD，点E、F分别是AB、BC边的中点，连接AF、CE交于点M，连接BM并延长交CD于点N，连接DE交AF于点P，则结论：①∠ABN=∠CBN；②DE∥BN；③△CDE是等腰三角形；④EM：BE=：3；⑤S_△EPM=S_梯形ABCD，正确的个数有（ ）

A．5个
B．4个
C．3个
D．2个

Answer

连接DF，AC，EF，如图所示，由E、F分别为AB、BC的中点，且AB=BC，得到EB=FB，再由一对公共角相等，利用SAS可得出△ABF与△CBE全等，由确定三角形的对应角相等得到一对角相等，再由AE=FC，对顶角相等，利用AAS可得出△AME与△CMF全等，由全等三角形的对应边相等可得出ME=MF，再由BE=BF，BM=BM，利用SSS得到△BEM与△BFM全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠ABN=∠CBN，选项①正确；由AD=AE，梯形为直角梯形，得到∠EAD为直角，可得出△AED为等腰直角三角形，可得出∠AED为45°，由∠ABC为直角，且∠ABN=∠CBN，可得出∠ABN为45°，根据同位角相等可得出DE平行于BN，选项②正确；由AD=AE=AB=BC，且CF=BC，得到AD=FC，又AD与FC平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ADCF为平行四边形，可得出AF=DC，又AF=CE，等量代换可得出DC=EC，即△DCE为等腰三角形，选项③正确；由EF为△ABC的中位线，利用三角形中位线定理得到EF平行于AC，由两直线平行得到两对内错角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似可得出△EFM与△ACM相似，且相似比为1：2，可得出EM：MC=1：2，设EM=x，则有MC=2x，用EM+MC表示出EC，设EB=y，根据BC=2EB，表示出BC，在直角三角形BCE中，利用勾股定理表示出EC，两者相等得到x与y的比值，即为EM与BE的比值，即可判断选项④正确与否；由E为AB的中点，利用等底同高得到△AME的面积与△BME的面积相等，由△BME与△BFM全等，得到面积相等，可得出三个三角形的面积相等都为△ABF面积的，由E为AB的中点，且EP平行于BM，得到P为AM的中点，可得出△AEP的面积等于△PEM的面积，得到△PEM的面积为△ABF面积的，由ABFD为矩形得到△ABF与△ADF全等，面积相等，由△ADF与△CFD全等得到面积相等，可得出三个三角形面积相等都为梯形面积的，综上得到△PEM的面积为梯形面积的，可得出选项⑤错误，综上，得到正确的个数．
【解析】
连接DF，AC，EF，如图所示：
∵E、F分别为AB、BC的中点，且AB=BC，
∴AE=EB=BF=FC，
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠BAF=∠BCE，AF=CE，
在△AME和△CMF中，
，
∴△AME≌△CMF（AAS），
∴EM=FM，
在△BEM和△BFM中，
，
∴△BEM≌△BFM（SSS），
∴∠ABN=∠CBN，选项①正确；
∵AE=AD，∠EAD=90°，
∴△AED为等腰直角三角形，
∴∠AED=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABN=∠CBN=45°，
∴∠AED=∠ABN=45°，
∴ED∥BN，选项②正确；
∵AB=BC=2AD，且BC=2FC，
∴AD=FC，又AD∥FC，
∴四边形AFCD为平行四边形，
∴AF=DC，又AF=CE，
∴DC=EC，
则△CED为等腰三角形，选项③正确；
∵EF为△ABC的中位线，
∴EF∥AC，且EF=AC，
∴∠MEF=∠MCA，∠EFM=∠MAC，
∴△EFM∽△CAM，
∴EM：MC=EF：AC=1：2，
设EM=x，则有MC=2x，EC=EM+MC=3x，
设EB=y，则有BC=2y，
在Rt△EBC中，根据勾股定理得：EC==y，
∴3x=y，即x：y=：3，
∴EM：BE=：3，选项④正确；
∵E为AB的中点，EP∥BM，
∴P为AM的中点，
∴S△AEP=S△EPM=S△AEM，
又S△AEM=S△BEM，且S△BEM=S△BFM，
∴S△AEM=S△BEM=S△BFM=S△ABF，
∵四边形ABFD为矩形，
∴S△ABF=S△ADF，又S△ADF=S△DFC，
∴S△ABF=S△ADF=S△DFC=S梯形ABCD，
∴S△EPM=S梯形ABCD，选项⑤错误．
则正确的个数有4个．
故选B