Question

已知：如图1，在Rt△OAC中，AO⊥OC，点B在OC边上，OB=6，BC=12，∠ABO+∠C=90°．动点M和N分别在线段AB和AC边上．
（l）求证△AOB∽△COA，并求cosC的值；
（2）当AM=4时，△AMN与△ABC相似，求△AMN与△ABC的面积之比；
（3）如图2，当MN∥BC时，将△AMN沿MN折叠，点A落在四边形BCNM所在平面的点为点E．设MN=x，△EMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，试写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer

（1）根据相似三角形的判定得出△AOB∽△COA，进而得出AO的长，即可求出cosC的值；
（2）利用（1）中所求得出AB=BC=12，再利用①∠AMN=∠B时，（如图1）△AMN∽△ABC，②当∠AMN=∠C时，（如图2）△AMN∽△ACB分别求出即可；
（3）首先得出△AMN∽△ABC，①当EN与线段AB相交时，设EN与AB交于点F（如图3），②当EN与线段AB不相交时，设EN于BC交于点G（如图4），分别求出即可．
【解析】
（1）∵AO⊥OC，
∴∠ABO+∠BAO=90°．
∵∠ABO+∠C=90°，
∴∠BAO=∠C．
∵∠ABO=∠COA，
∴△AOB∽△COA．
∵OB=6，BC=12，
∴6：OA=OA：18．
∴．
∴．
∴．

（2）∵，
∴∠C=30°．
∵，
∴∠ABO=60°，
∴∠BAC=30°．
∴AB=BC=12．
①∠AMN=∠B时，（如图1）△AMN∽△ABC．
∵AM=4，
∴．
②当∠AMN=∠C时，（如图2）△AMN∽△ACB．
∵AM=4，
∴．

（3）可以求得：．
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC．
∴．
∴．
∴．
①当EN与线段AB相交时，设EN与AB交于点F（如图3），
∵MN∥BC，
∴∠ANM=∠C=30°．
∴∠ANM=∠BAC．
∴AM=MN=x．
∵将△AMN沿MN折叠，
∴∠ENM=∠ANM=30°．
∴∠AFN=90°．
∴．
∴S△FMN：S△AMN=MF：AM．
∴．
∴．
②当EN与线段AB不相交时，设EN于BC交于点G（如图4），
∵MN∥BC
∴CN：AC=BM：AB．
∴．
∴．
∵△CNG∽△CBA，
∴．
∴．
∴．
∴．
即．
说明：①当EN与线段AB相交时，用计算MN边上高的方法求y时，求出高为，得1分；
当EN与线段AB不相交时，用梯形面积公式求y时，求出梯形上底为（3x-24），得1分．
②定义域错一个，不扣分；两个全错，扣1分．