Question

已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，与AC交于点E，AD²=BD•ED．
（1）求证：△ADE∽△BDA
（2）如果BA=10，BC=12，BD=15，求BE的长．

Answer

（1）根据AD2=BD•ED得出，再根据∠ADE=∠BDA，即可证出△AED∽△BDA．
（2）根据△AED∽△BDA，得出∠AED=∠BAD，再通过证明△EBC∽△ABD，得出，再把BA、BC、BD的值代入即可求出BE的长．
【解析】
（1）证明：∵AD2=BD•ED，
∴，
∵∠ADE=∠BDA，
∴△AED∽△BDA．

（2）∵△AED∽△BDA，
∴∠AED=∠BAD．
∵∠BEC=∠AED，
∴∠BEC=∠BAD．
∵BD平分∠ABC，即∠EBC=∠ABD，
∴△EBC∽△ABD．
∴．
∵BA=10，BC=12，BD=15，
∴，
∴BE=8．