Question

已知如图，等腰△ABC内接于⊙O，∠B=∠ACB=30°，弦AD交BC于E，AE=2，ED=4，则⊙O的半径为    ．

Answer

连接OA，OC，AO交BC于点F，根据已知和圆周角定理可证∠O=2∠D=60°，即证△OAC是等边三角形，可证△ABE≌△ACE，得到∠AEB=∠AEC=90°，由勾股定理和相交弦定理得BE•CE=（BF+EF）（BF-EF）=BF2-EF2=AB2-AF2-EF2=AB2-AE2=AB2-4=8，即可求AB2=12，半径等于2．
【解析】
连接OA，OC，AO交BC于点F，则OA=OC，∠B=∠C，
∴AB=AC，
由圆周角定理知，∠O=2∠D=60°，
所以等腰△OAC是等边三角形，
有AB=AC=OA，
∵∠B=∠C，
∴AE⊥BC
∵AB=AC，AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△ACE，
∴BE=CE，∠AEB=∠AEC，
∵∠AEB+∠AEC=180°，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∴BF2=AB2-AF2，AF2+EF2=AE2，
由相交弦定理知，BE•CE=AE•ED=8，
而BE•CE=（BF+EF）（BF-EF）=BF2-EF2=AB2-AF2-EF2=AB2-AE2=AB2-4=8，
∴AB2=12，
∴半径等于2．