Question

据某气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示．过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为th内沙尘暴所经过的路程s（km）．
（1）当t=4时，求s的值；
（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城？如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．

Answer

（1）设直线l交v与t的函数图象于D点．由图象知，点A的坐标为（10，30），故直线OA的解析式为v=3t，
当t=4时，D点坐标为（4，12），∴OT=4，TD=12，∴S=×4×12=24（km）；
（2）分类讨论：当0≤t≤10时；当10＜t≤20时；当20＜t≤35时；
（3）根据t的值对应求S，然后解答．
【解析】
设直线l交v与t的函数图象于D点，
（1）由图象知，点A的坐标为（10，30），故直线OA的解析式为v=3t，
当t=4时，D点坐标为（4，12），
∴OT=4，TD=12，
∴S=×4×12=24（km）；（2分）

（2）当0≤t≤10时，此时OT=t，TD=3t（如图1）
∴S=•t•3t=t2（4分）
当10＜t≤20时，此时OT=t，AD=ET=t-10，TD=30（如图2）
∴S=S△AOE+S矩形ADTE=×10×30+30（t-10）=30t-150（5分）
当20＜t≤35时，∵B，C的坐标分别为（20，30），（35，0）
∴直线BC的解析式为v=-2t+70
∴D点坐标为（t，-2t+70）
∴TC=35-t，TD=-2t+70（如图3）
∴S=S梯形OABC-S△DCT=（10+35）×30-（35-t）（-2t+70）=-（35-t）2+675；（7分）

（3）∵当t=20时，S=30×20-150=450（km），
当t=35时，S=-（35-35）2+675=675（km），而450＜650＜675，
所以N城会受到侵袭，且侵袭时间t应在20h至35h之间，（8分）
由-（35-t）2+675=650，解得t=30或t=40（不合题意，舍去）．
所以在沙尘暴发生后30h它将侵袭到N城．                                                            （10分）