Question

在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点P为对角线BD的中点，过点P作∠MPN=30°将∠MPN，绕P点旋转．
（1）如图1，当∠MPN的两边分别交AB、AD于点E、F时，问△DFP是否相似，并证明你的结论．
（2）操作：将∠MPN绕P旋转到图2的情形时，角的两边分别交BA的延长线、边AD于点E、F．
①探究1：△BPE与△DFP还相似吗？（只需写出结论）
②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？并证明你的结论．

Answer

（1）证明两组角相等，就可以证明是相似三角形．
（2）根据对应边成比例，夹角相等的三角形互为相似三角形可进行证明．
【解析】
（1）相似．…（1分）
在△ABD中，∠BAD=120°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
∵∠ADB+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠BEP=150°，
∵∠EPF=30°．∠BPE+∠EPF+∠DPF=180°，
∴∠BPE+∠DPF=150°，
∠BEP=∠DPF，
∴△BPE∽△DFP．

（2）①△BPE与△DFP仍相似；…．（7分）
②△BPE与△PFE相似．…（8分）
证明：由（1）得△BPE∽△DFP得，
而DP=BP，∴
又∵∠EBP=∠EPF，∴△BPE∽△PFE…（10分）