Question

如图，等腰直角三角形纸片ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，直角边AC在x轴上，B点在第二象限，A（1，0），AB交y轴于E，将纸片过E点折叠使BE与EA所在直线重合，得到折痕EF（F在x轴上），再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE，然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA平移，至B点到达A点停止．设平移时间为t（s），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE与△AEF重叠的面积为S．
（1）求折痕EF的长；
（2）是否存在某一时刻t使平移中直角顶点C经过抛物线y=x²+4x+3的顶点？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
（3）直接写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围．

Answer

（1）因为折叠后BE与EA所在直线重合推出EF=EA，OA=OE=1，可求出AE，EF的值．
（2）设CP∥BA交Y轴于P，推出△POC为等腰直角三角形，求出点C移动的水平距离后可求出时间．
（3）本题考查的是分段函数的知识．
【解析】
（1）∵折叠后BE与EA所在直线重合
∴FE⊥EA又Rt△ABC中AC=BC
∴∠CAB=45°
∴EF=EA
∵A（1，0）
∴OA=OE=1，AE=
∴折痕EF=．

（2）存在，设CP∥BA交Y轴于P，
则△POC为等腰直角三角形，直角顶点C在射线CP上移动
∵AC=4，OA=1
∴OC=OP=3
∴C（-3，0），P（0，-3）可求得PC所在直线解析式为：y=-x-3
∵直角顶点C从（-3，0）位置移动到（-2，-1）时，水平移动距离为|-2-（-3）|=1（长度单位）
∴直角顶点C从开始到经过此抛物线顶点移动的时间t==．
（3）当0≤t≤时，
四边形BCFE与△AEF重叠的面积为：直角梯形EFQE 1，
故面积为：S=（EF+E1Q）×EE1=t（-t+）=-t2+t，
同理可得出其它函数解析式：
s=．