Question

已知大⊙O的直径AB=acm，分别以OA、OB为直径作⊙O₁和⊙O₂，并在⊙O与⊙O₁和⊙O₂的空隙间作两个半径都为r的⊙O₃和⊙O₄，且这些圆互相内切或外切（如图所示）．
（1）猜想四边形O₁O₄O₂O₃是什么四边形，并说明理由；
（2）求四边形O₁O₄O₂O₃的面积．

Answer

（1）根据外切两圆之间之间的关系：圆心距等于两圆半径的和，即可证得四边形的四边相等；
（2）连接O3O4必过点O，且O3O4⊥AB，则菱形被分成了四个全等的直角三角形，根据菱形的面积公式即可求解．
【解析】
（1）四边形O1O4O2O3为菱形．（1分）
理由如下：
∵⊙O、⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4互相内切或外切，
又∵⊙O1和⊙O2，⊙O3和⊙O4分别是等圆，
∴O1O4=O4O2=O2O3=O3O1=．（2分）
∴四边形O1O4O2O3为菱形．（3分）

（2）连接O3O4必过点O，且O3O4⊥AB．（4分）
∵⊙O3和⊙O4的半径为rcm．
又∵⊙O1、⊙O2的半径为cm，
∴在Rt△O3O1O中，有．
解得r=．（6分）
∴O3O=．
∵四边形O1O4O2O3为菱形，
∴S四边形O1O4O2O3=．（8分）