Question

已知：如图，AD是⊙O的切线，切点为D，AC经过圆心O，交⊙O于B，C两点，弦DE⊥AC，垂足为F，∠A=30°．
（1）△DCE是否是等边三角形？请说明理由；
（2）若⊙O的半径R=2，试求CE的长．

Answer

（1）连接OD．根据切线的性质得OD⊥AD．所以∠AOD=60°．根据垂径定理得∠DCE=60°，CE=CD．故可判定△CDE是等边三角形；
（2）由（1）知CE=DE=2DF．根据三角函数可求DF．
【解析】
（1）△DCE是等边三角形．
理由如下：
连接OD．
∵AD切⊙O于点D，∴OD⊥AD，即∠ADO=90°．
又∵∠A=30°，∴∠AOD=60°．
∵BC为⊙O的直径且DE⊥AC，
∴；．
∴CE=CD，∠DCE=60°．
∴△DCE是等边三角形．

（2）∵⊙O的半径R=2．∴直径BC=4．
由BC是直径知∠BEC=90°．
在Rt△BEC中，
∵Sin∠CBE=，
∴CE=BCsin60°==．