Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=12，AD=18，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G．
（1）写出图中所有的等腰三角形，并证明其中一个；
（2）当BG=时，求△CEF的周长．

Answer

（1）根据角平分线的性质可得∠BAF=∠FAD，再根据AB∥DC，AD∥BC，可得到∠BAF=∠F，∠DAF=∠AEB=∠CEF，从而可得到△ADF，△ABE，△CEF是等腰三角形．
（2）首先证明△ABE∽△FCE，再利用勾股定理求出AD的长，即可得到△ABE的周长，再根据相似比等于周长比即可得到答案．
【解析】
（1）△ADF，△ABE，△CEF，
证明：∵AF是∠BAD的平分线，
∴∠BAF=∠FAD，
∵AB∥DC，
∴∠BAF=∠F，
∴∠F=∠DAF，
∴△ADF是等腰三角形．

（2）∵AB∥FC，
∴△ABE∽△FCE，
∵AB=12，BG=8，
∴AG==4，
∵△ABE是等腰三角形，AB=BE，
∴AG=GE=4，
∴EC=18-12=6，
∴，
∴△ABE的周长：△CEF的周长=2：1，
∵△ABE的周长=12+12+8=32，
∴△CEF的周长=16．