Question

已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB=4，AD=BC=2，∠ABC=120°．P、Q分别为射线BC和线段CD上的动点，且CQ=2BP．
（1）如图1，当点P为BC的中点时，求证：△CPQ∽△DAQ；
（2）如图2，当点P在BC的延长线上时，设BP=x，△APQ的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）以点A为圆心AQ为半径作⊙A，以点B为圆心BP为半径作⊙B，当⊙A与⊙B相切时，求BP的长．

Answer

（1）作出AM⊥CD，BN⊥CD，再利用已知得出AM=BN，AB=MN=4，DM=CN，进而求出；又∵∠QCP=∠D=60°，即可得出答案；
（2）利用AB∥DC得出，表示出CE的长，进而利用S△APQ=S△PQE+S△AQE，得出y关于x的函数解析式；
（3）利用两圆外切的性质得出AQ+BP=AB，求出x的值，再利用当⊙A与⊙B内切时，|AQ-BP|=AB，求出即可．
【解析】
（1）过点A作AM⊥CD，M为垂足，过点B作BN⊥CD，N为垂足
根据题意得：AM=BN，
AB=MN=4，DM=CN，
在直角三角形△ABN中，
∵∠DCB=60°，BC=2，CN=1，BN=，
∴DM=1，AM=，
∴CD=6（2分），
∵点P为BC的中点，且CQ=2BP，
∴CP=1，CQ=2，DA=2，DQ=4，
∴
又∵∠QCP=∠D=60°，
∴△CPQ∽△DAQ（2分）；

（2）∵AB∥DC
∴，
∴
∴，
∴（2分），
如图2，过点P作PH⊥CD交DC的延长线于H，
在直角三角形△CPH中，
∴∠PCH=60°，PC=x-2，，
∵S△APQ=S△PQE+S△AQE
∴，
∴（2分）（2＜x≤3）（1分）；

（3）如备用图，过点A作AM⊥CD于M，
∵DM=1，DQ=6-2x，
∴QM=|5-2x|
在直角三角形△AQM中，（1分），
当⊙A与⊙B外切时，AQ+BP=AB，，
解得：x1=x2=2（2分），
当⊙A与⊙B内切时，|AQ-BP|=AB，
，
解得：，（舍去）（2分）
∴当BP=2时，⊙A与⊙B外切；
当时，⊙A与⊙B内切．