Question

如图，已知矩形ABCD，AB=，BC=3，在BC上取两点E、F（E在F左边），以EF为边作等边三角形PEF，使顶点P在AD上，PE、PF分别交AC于点G、H．
（1）求△PEF的边长；
（2）在不添加辅助线的情况下，从图中找出一个除△PEF外的等腰三角形，并说明理由；
（3）若△PEF的边EF在线段BC上移动．试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论．

Answer

（1）过P作PQ垂直于BC，垂足为Q，由ABCD为矩形，得到角B为直角，且AD平行于BC，得到PQ=AB，又三角形PEF为等边三角形，根据“三线合一”得到∠FPQ为30°，在直角三角形FPQ中，设出QF为x，则PF=2x，由PQ的长，根据勾股定理列出关于x的方程，求出x的值，即可得到PF的长，即为等边三角形的边长；
（2）△APH为等腰三角形，理由是：由AB和BC，根据勾股定理求出AC的长，发现CD等于AC的一半，根据直角三角形中，一直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的角为30°，即∠PAH为30°，又根据矩形的对边平行，得到内错角∠DPF=∠PFE=60°，又∠DPF为△APH的外角，根据外角定理得到∠PHA=30°，然后根据等角对等边得到AP=HP，故△APH为等腰三角形；
（3）PH-BE=1，理由是：过E作ER垂直于AD，如图所示，根据矩形的对边平行得到一对内错角相等，可得∠APE=60°，在直角三角形EPR中，∠REP=30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，由PE求出PR，由（2）中得到PA=PH，则PH-BE=PA-BE=PA-AR=PR，即可得到两线段的关系．
【解析】
（1）过P作PQ⊥BC于Q（如图1）
∵矩形ABCD，∴∠B=90°，即AB⊥BC，
又AD∥BC，∴PQ=AB=
∵△PEF是等边三角形，∴∠PFQ=60°
在Rt△PQF中，∠FPQ=30°，
设PF=2x，QF=x，PQ=，
根据勾股定理得：（2x）2=x2+，
解得：x=1，故PF=2，
∴△PEF的边长为2．

（2）△APH是等腰三角形．理由如下：
在Rt△ADC中，AB=，BC=3，∴由勾股定理得AC=2，
∴CD=AC，∴∠CAD=30°
∵AD∥BC，∠PFE=60°，∴∠FPD=60°，
∴∠PHA=30°=∠CAD，∴PA=PH，
∴△APH是等腰三角形．

（3）PH-BE=1，理由如下：
作ER⊥AD于R（如图2）
Rt△PER中，∠RPE=60°，
∴PR=PE=1，∴PH-BE=PA-BE=PR=1．