Question

已知：如图①，△ABC为边长为2的等边三角形，D、E、F分别为AB、AC、BC中点，连接DE、DF、EF．将△BDF向右平移，使点B与点C重合；将△ADE向下平移，使点A与点C重合，如图②．
（1）设△ADE、△BDF、△EFC的面积分别为 S₁、S₂、S₃，则S₁+S₂+S_{3______} （用“＜、=、＞”填空）

（2）已知：如图③，∠AOB=∠COD=∠EOF=60°，AD=CF=BE=2，设△ABO、△FEO、△CDO的面积分别为S₁、S₂、S₃；问：上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（可利用图④进行探究）

Answer

根据
【解析】
（1）S1+S2+S3＜（2分）

（2）结论成立（3分）
证明一：延长OB到H使BH=OE
延长OA到G使AG=OD
连接HG（4分）
∵OA+AG=OA+DO=AD=2
OB+BH=OB+OE=BE=2
∠AOB=60°
∴△GHO是等边三角形
∵OG=OH=HG=2
∴S△GHO=（5分）
在HG上取点M，使MG=OC
∵HM+MG=HG=2
OC+OF=CF=2
∴HM=OF
在△MGA和△COD中，
∴△MGA≌△COD
同理可证：△MHB≌△FOE（6分）
∴S2=S△MHB，S3=S△MGA
由图形可知：S△ABO+S△MHB+S△MGA＜S△GHO，
∴S1+S2+S3＜S△GHO=
即S1+S2+S3＜．