Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．
（1）求点A的坐标．
（2）当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标．
（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出有几种情况．

Answer

（1）利用直线y=x+1与交于点A，直接联立函数解析式求出即可；
（2）当△CBD为等腰三角形时，有三种情况当BD1=D1C时，当BC=BD2时，当CD3=BC分别得出即可；
（3）以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形有三种情形．
【解析】
（1）由题意，得：，
解得：，
∴点A的坐标为（，）．

（2）当△CBD为等腰三角形时，有以下三种情况，如图（1）．设动点D的坐标为（x，y）．
在y=x+1中，当y=0时，x+1=0，
∴x=-1，点B的坐标为（-1，0）．
在y=-+3中，当y=0时，-x+3=0，
∴x=4，
点C的坐标为（4，0）．
∴BC=5．
①当BD1=D1C时，过点D1作D1M1⊥x轴，垂足为点M1，则BM1=M1C=BC．
∴BM1=，OM1=-1=，x=，
∴y=-×+3=，点D1的坐标为（，）．
②当BC=BD2时，过点D2作D2M2⊥x轴，垂足为点M2，则D2M22+M2B2=D2B2．
∵M2B=-x-1，D2M2=-x+3，D2B=5，
∴（-x-1）2+（-x+3）2=52，
解得：x1=-，x2=4（舍去）．此时，y=-×（-）+3=，
∴D2的坐标为（-，），
③当CD3=BC时，CB=5，CD3=5，此时D3坐标为（0，3），
当CD4=BC时，BC=CD4，=5，M4D4=OD3=3，CO=CM4=4，则D点坐标为（8，-3）．（6分）
由此可得点D的坐标分别为D1（，），D2（-，），D3（0，3），D4（8，-3）．

（3）存在．以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形有三种情形．（8分）